Steigung einer linearen Funktion ermitteln - Steigungsdreieck und Zweipunkteform

Wir wollen nun die Steigung einer linearen Funktion ermitteln. Zuerst werden wir sehen, wie wir anhand eines gezeichneten Graphen dessen Steigung herauslesen können und später reichen uns zwei beliebige Punkte auf diesem Graphen. Ein sehr wichtiger Begriff, den man im Zusammenhang mit linearen Funktionen und dessen Steigung hört, ist das Steigungsdreieck. Mithilfe dieses Steigungsdreiecks fangen wir an. Wir haben eine beliebige lineare Funktion gegeben, dessen Steigung wir noch nicht kennen.

Die Frage ist nun: Wie stark steigt oder fällt die Funktion, wenn wir auf der x-Achse einen Schritt nach rechts gehen? Dafür zeichnen wir ab einem beliebigen Punkt auf dem Graph eine zu der x-Achse parallele Linie der Länge 1. Danach zeichnen wir vom Endpunkt dieser Linie eine Linie parallel zur y-Achse und lesen ab oder messen, wie lang diese Linie ist. Diese zwei Linien bilden zusammen mit dem Graphen ein Dreieck, das so genannte Steigungsdreieck.

Wir machen das einmal:

Wir sehen: Pro Schritt nach rechts, steigt die Funktion um ½ an. Also beträgt die Steigung m = ½. Das Steigungsdreieck so klein zu zeichnen, kann Schwierigkeiten beim Ablesen bringen. Wir fragen uns, wenn wir innerhalb eines Schrittes um ½ ansteigen, wie stark steigt die Funktion, wenn wir zwei Schritte in x-Richtung gehen? Da wir die doppelte Strecke in x-Richtung gehen, müssen wir auch die doppelte Strecke in y-Richtung gehen.

Merke, die Steigung einer linearen Funktion ist das Verhältnis der Seitenlängen des Steigungsdreiecks von Seitenlänge „y-Richtung“ zu Seitenlänge „x-Richtung“, also der Quotient aus y durch x. Wir merken uns als Formel:

Wir zeichnen erneut ein Steigungsdreieck in das Schaubild, dieses Mal etwas größer.

Wir benutzen die Formel um die Steigung zu berechnen. Als y lesen wir 1 ab und als x lesen wir 2 ab, also erhalten wir für die Steigung:

Die Steigung mithilfe des Steigungsdreiecks zu bestimmen ist ein einfacher und sicherer Weg. Wir wollen nun sehen, wie hängen die Punkte, die auf dem Graphen liegen und die Eckpunkte des Dreiecks sind, mit den Seitenlängen des Dreiecks zusammen?

Wir suchen die x-Werte und die y-Werte der Punkte aus dem Schaubild heraus.

Wir können mithilfe der Koordinaten von zwei Punkten die Seitenlänge des Steigungsdreiecks ausrechnen. Um die gesuchte x-Seitenlänge des Steigungsdreiecks auszurechnen, müssen wir rechnen: x-Wert vom Punkt Q minus x-Wert vom Punkt P.

Genau das gleiche Vorgehen für die y-Werte. Die y-Seitenlänge vom Steigungsdreieck erhalten wir, indem wir y-Wert von Q minus y-Wert von P rechnen.

Das verpacken wir in eine Formel, wir benennen noch die x- und y-Werte von P und Q um in: Für x-Wert von P sagen wir x₁ und für den y-Wert von P sagen wir y₁. Für den x-Wert von Q sagen wir x₂ und für den y-Wert von Q sagen wir y₂. Und wir erhalten die folgende Formel:

Die Formel gilt ganz allgemein, wobei der zweite Punkt praktikablerweise immer weiter rechts auf der x-Achse liegt und dessen x- und y-Wert die Anfangswerte in dieser Formel sind. Statt y kann man auch f(x) schreiben und die Formel entsprechend so schreiben:

Jetzt zeigt sich auch, wir benötigen gar keinen Graphen mehr um die Steigung zu berechnen. Zwei Punkte von der Funktion reichen völlig, um die Steigung zu berechnen. Deshalb heißt diese Formel auch Zweipunkteform.

Wir haben die folgende Funktion:

Wir können die Punkte (1|2) und (2| – 1) gut ablesen. Der Punkt (2| – 1) liegt auf der x-Achse weiter rechts, also beginnen wir mit dem:

Als nächstes noch die x- und y-Werte vom ersten Punkt einsetzen und ausrechnen:

Die Funktion war übrigens: f(x) = – 3x + 5. Wir haben die Steigung also richtig berechnet.