Klammer mal Faktor

Wie man Klammern auflöst, wissen wir schon, falls wir uns an das Distributivgesetz erinnern. Wir multiplizieren jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer. Also zum Beispiel:

5x – 2 (8x – 2) = 5x – 16x + 4 = – 11x + 4

Klammer mal Klammer

Auch den Fall Klammer mal Klammer hatten wir schon aufgelöst. Wir müssen jeden Summanden aus der ersten Klammer mit jedem Summanden aus der zweiten Klammer multiplizieren. Beispiel:

(5x – 2) (8x – 2) = 5x · 8x + 5x · (– 2) + (– 2) · 8x + (– 2) · (– 2) = 40x² – 10x – 16x + 4

Plus vor der Klammer

Wenn in einem Term etwas vorkommt wie 5x + (8x – 2), also Term plus Klammer, dann stellen wir uns einfach vor, dass vor der Klammer der Faktor 1 steht und lösen das auf wie Klammer mal Faktor:

5x + (8x – 2) = 5x + 1 · (8x – 2) = 5x + 1 · 8x – 1 · 2 = 5x + 8x – 2

Minus vor der Klammer

Wenn wir etwas minus einer Klammer rechnen, also sowas wie 5x – (8x – 2), dann stellen wir uns auch in diesem Fall vor, dass vor der Klammer der Faktor 1 steht und rechnen aus wie Faktor mal Klammer:

5x – (8x – 2) = 5x – 1 · (8x – 2) = 5x + (– 1) (8x – 2) = 5x + (–1) · 8x + (– 1) (– 2) = 5x – 8x + 2

Wir stellen fest, dass das Minus praktisch die Vorzeichen umdreht und man im selben Schritt die Klammern weglässt.

Ausklammern (auch: Faktorisieren)

Ausklammern ist das Gegenteil vom Klammern auflösen. Das Ziel ist es Ausdrücke zu vereinfachen oder sie kürzer zu schreiben. Außerdem erzeugen wir durch Ausklammern ein Produkt. Wir gehen folgendermaßen vor:

Wir haben unseren Term, zum Beispiel: 10x + 5

Jetzt suchen wir in jedem Summanden gemeinsame Faktoren. Wir sehen, dass 10 = 5 · 2 ist und dass in jedem Summanden die 5 vorkommt, schreiben die 5 vor die Klammer und in die Klammer den Term, den wir vorher durch 5 teilen:

Also: 5 (2x + 1)

Wir können auch mehrere Faktoren gleichzeitig ausklammern.

Beispiel

18x² + 21x – 12x² + 3x

Wir sehen, dass in jedem Summanden eine durch 3 teilbare Zahl und mindestens ein x als Faktoren vorkommen. Also klammern wir 3x aus:

3x (6x + 7 – 4x + 1)

Wichtig dabei ist, dass wir den vorherigen Term sauber durch den Vorfaktor teilen und zum Beispiel auch die 1 am Ende nicht vergessen.