Systeme linearer Gleichungen und Verfahren zur Lösung
Lineare Gleichungssysteme
Systeme linearer Gleichungen und Verfahren zur Lösung
Wir wollen lineare Gleichungssysteme lösen. Ein lineares Gleichungssystem sind zwei lineare Gleichungen, die man mit einem „und“ verknüpft. Das bedeutet nichts anderes, dass für alle x und y beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sein müssen.
Wir wollen jetzt zwei lineare Gleichungen zu einem linearen Gleichungssystem „verknüpfen“ und davon die Lösungsmenge bestimmen. Jedes Paar (x|y), das jede der Gleichungen gleichzeitig erfüllt, ist eine Lösung. Beispiel:
2x + y = 1
– x + y = – 2
Die Lösung ist das Paar (1|– 1). Denn wenn wir die Probe durchführen, erhalten wir: 2 · 1 + (– 1) = 1 und das ist richtig und wir erhalten: – 1 + (– 1) = – 2 und auch das ist richtig. Doch wie können wir dieses Paar ermitteln? Zuerst probieren wir es graphisch, später werden wir Verfahren zur rechnerischen Lösung kennenlernen.
Bevor wir lineare Gleichungssysteme lösen wollen, müssen wir erst einmal klären, was eine lineare Gleichung ist. Diese Art von Gleichungen sind von der Form ax + by = c. Wir wollen die Lösungsmenge von einer linearen Gleichung untersuchen.
Verlauf der Geraden, Schnitt, Parallelität
Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Anlehnung an das graphische Lösen von linearen Gleichungssystemen. Dort haben wir nach y aufgelöst, um eine Geradengleichung zu erstellen, und dann gesehen, wo die Geraden gleich sind.
Beim Gleichsetzungsverfahren haben wir beide Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst und dann eben gleichgesetzt. Dem Ganzen liegt zu Grunde, dass wir ein Paar ausrechnen wollen, bei dem beide Variablen in beiden Gleichungen zu wahren Aussagen führen. Und das bedeutet wiederum, dass das y und das x, egal in welcher Gleichung sie vorkommen im Gleichungssystem, denselben Wert haben.
Beim Additionsverfahren addieren wir zwei Gleichungen. Das Ziel ist es, dass eine oder mehrere Variablen wegfallen.