Wir haben gelernt, dass die Lösungsmenge einer linearen Gleichung eine Gerade ist. Wenn wir jetzt zwei lineare Gleichungen verknüpfen, so erhalten wir zwei Geraden. Wir wollen ermitteln, an welcher Stelle eine Lösung für beide lineare Gleichungen gilt. Also werden wir unsere lineare Gleichungen nach y umstellen, um eine vernünftige Geradengleichung zu bekommen, nach der wir zeichnen können und werden dann die Lage überprüfen, also ob sie sich schneiden, an welchen Stellen sie halt gleich sind. Wir verwenden folgendes Beispiel:

2x + y = 1

– x + y = – 2

Wir stellen beide Gleichungen nach y um:

2x + y = 1    | – 2x

y = – 2x + 1

– x + y = – 2 | + x

y = x – 2

Danach zeichnen wir und untersuchen auf Schnittpunkte.

Wir können sehr gut ablesen, dass sich die Geraden bei (1|– 1) schneiden. Das wird nicht immer so sein, weshalb wir später auch noch rechnerische Wege beschreiben werden.

Wir müssen uns jetzt noch überlegen wie die Geraden verlaufen könnten und wie wir das dann zu interpretieren haben. Den ersten Fall haben wir schon beispielhaft beschrieben, die Geraden schneiden sich, wir haben eine Lösung, genau an der Stelle, wo sie sich schneiden.

Zweiter Fall: Die Geraden schneiden sich gar nicht, weil sie parallel sind. In diesem Fall gibt es keine Lösung, die Lösungsmenge ist die leere Menge.

Dritter Fall: Die Geraden schneiden sich in unendlich vielen Punkten, weil sie genau aufeinander liegen, also gleich sind. In diesem Fall ist die Lösungsmenge die Geradengleichung.