Höhensatz des Euklid - h² = p · q

Für die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck gilt: h² = p · q. Diese Behauptung wollen wir herleiten und damit beweisen.

Wir zeichnen uns ein rechtwinkliges Dreieck ABC, den Lotfußpunkt (Punkt an dem die Höhe die Dreiecksseite schneidet) nennen wir L.

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Gegeben sind die Hypotenusenabschnitte q und p. Die Höhe teilt das große rechtwinklige Dreieck in zwei weitere, kleinere rechtwinklige Dreiecke. Es gilt:

a² + b² = c² (Dreieck ABC)

q² + h² = b² (Dreieck ALC)

h² + p² = a² (Dreieck CLB)

Außerdem bekannt: q + p = c

Die gegebenen Informationen bauen wir derart zusammen, dass in den Formeln nur noch h, p und q übrig bleiben.

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h² = pq