Indirekter Beweis - Indirekte Beweisführung, dass Wurzel 2 nicht Element der Menge Q

Wenn die Wurzel aus 2 rational sein sollte, dann müsste man diese als Bruch schreiben können. Wir werden sehen, dass dies am Ende zu einem Widerspruch führen wird. Indirekte Beweise führt man so: Wir nehmen etwas an und widerlegen unsere These.

Wir schreiben also Wurzel 2 als Bruch:

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  • Wobei p durch q der gekürzte Bruch aus x durch y ist.
  • p und q indirekter-beweis0008.svg haben außer 1 keinen gemeinsamen Teiler

Wir gehen hier also erst einmal davon aus, dass Wurzel 2 möglich ist als Bruch zu schreiben. Wir denken uns den Bruch soweit gekürzt, dass Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler mehr haben.

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Wir quadrieren und erhalten 2 = Zähler und Nenner zum Quadrat.

Als nächstes schreiben wir 2 auch als Bruch:

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Wir vergleichen die Nenner und erkennen, dass q = 1 sein muss, weil q² = 1 ist.

Jetzt vergleichen wir

indirekter-beweis0012.svg mit indirekter-beweis0013.svg

Die erste Gleichung ist unsere Voraussetzung, die zweite Gleichung erhalten wir aus der vorherigen Gleichung. Dieser Vergleich zeigt, dass indirekter-beweis0014.svg eine ganze Zahl sein muss. Das ist aber offensichtlich falsch, denn 1² = 1 und 2² = 4 und indirekter-beweis0015.svg weil 1 < 2 < 4, also gibt es keine ganze Zahl hierfür.

Damit haben wir unsere These, dass Wurzel 2 rational ist, widerlegt. Wir nennen diese Zahlen, die beim Wurzelziehen keine ganzen Zahlen ergeben, irrational. Also ist indirekter-beweis0016.svg

Wir führen eine neue Zahlenmenge ein: Die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen vereinen die irrationalen Zahlen mit den rationalen Zahlen. Irrationale Zahlen sind also alle reellen Zahlen, die nicht rational sind und sind folgendermaßen angeordnet:

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