Flächeninhalt von einem Kreis mit r = 1 berechnen

1. Versuch

Man teilt den Kreis in acht gleich große „Tortenstücke“ und liegt diese so zusammen, dass sie in etwa die Form von einem Parallelogramm bekommen (Rundungen vernachlässigen wir).

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms A = g · h könnte der Flächeninhalt des Kreises angenähert werden. Das führt aber zu keinem guten Ergebnis. Je mehr Teile man „ausschneidet“, desto genauer nähert man den Flächeninhalt an.

2. Versuch

Den Flächeninhalt eines Quadrats können wir leicht berechnen. Wir legen ein Quadrat um den Kreis und eins in den Kreis.

Die Seitenlänge des inneren Quadrats ist nach dem Satz des Pythagoras . Das zum Quadrat ergibt den Flächeninhalt des inneren Quadrats. Das äußere Quadrat hat den Flächeninhalt 2² = 4. Wir können also schon einmal feststellen, dass der Flächeninhalt des Kreises zwischen beiden liegt. Das heißt, im Mittel beträgt der Flächeninhalt:

3. Versuch

Dieser Versuch wird uns zu einer Annäherung für die Kreiszahl Pi führen. Wir „schneiden“ den Kreis in Streifen, und zwar werden wir erst einmal den Kreis in acht gleichbreite Streifen schneiden. Später entwickeln wir eine Formel, den Kreis in n gleichbreite Streifen zu schneiden. Wir befinden uns weiterhin im Einheitskreis, also der Radius ist weiterhin r = 1.

Wir betrachten zunächst nur die Fläche eines Viertelkreises und multiplizieren später mit 4. Wir können mithilfe des Satzes von Pythagoras die Fläche jedes Streifens berechnen. Denn wir kennen sowohl die Länge der Diagonalen vom Rechteck, die ist gleich dem Radius r als auch die Breite jedes Streifens, die ist ein Viertel des Radius.

Mit dem umgeformten Satz des Pythagoras können wir mit c² - a² = b² bzw. . Durch Ziehen der Wurzel erhalten wir die Höhe und können mit Höhe mal Breite den Flächeninhalt des Rechtecks berechnen.

Das sind die Flächeninhalte jedes Streifens. Die addieren wir und multiplizieren wir mit 4. Da wir den Flächeninhalt eines Einheitskreises berechnen wollen, setzen wir r = 1.

Das Ergebnis ist immer noch sehr ungenau. Wir sehen auch in der Skizze, dass große Flächen nicht beachtet wurden. Um den Flächeninhalt genauer zu berechnen, können wir die Streifen immer dünner machen. Wir entwickeln eine Formel, mit der wir einen Computer füttern könnten, um eine große Anzahl von Streifen zu erhalten und damit immer dünnere Streifen zu berechnen.

Formel für Pi

Wir betrachten die folgende Formel (von oben):

Jede der drei Wurzeln hat einen sehr ähnlichen Aufbau. Immer ziehen wir von r² den Bruch zum Quadrat ab. In diesem Bruch teilen wir den Radius r durch die Anzahl der Streifen (das ist unsere Streifenbreite). Weiterhin zählt der Faktor vor der Streifenbreite von 1 hoch bis 1 minus Streifenanzahl. Das bauen wir in eine Formel ein, wobei wir die Streifenanzahl mit n bezeichnen.

Diese Formel übertragen wir so wie sie ist in unseren Computer.

Wir erhalten für den Einheitskreis einen Flächeninhalt von 3,141590652413821, wenn wir unseren Kreis dafür in 1000000 (1 Mio.) Streifen schneiden. Wir definieren diese Zahl als Kreiszahl Pi (π = 3,14159).

Der Quellcode zum Kopieren. Durch Änderung von n in der dritten Zeile erhält man bessere oder schlechtere Näherungen.

public class Pi {

     public static void main(String[] args) {

         double n = 1000000;

         double flaeche = 0;

         int counter = 1;

         int r = 1;

         while (counter < n) {

              flaeche = flaeche + 4*r/n*Math.sqrt((r*r)-((counter/n)*(counter/n)));

              counter = counter + 1;

         }   

         System.out.println("Die Fläche des Kreises mit dem Raidus r = " + r

                   + " beträgt: " + flaeche + " (bei n = " + n + ")");

     }

}