Lineare Unabhängigkeit oder Abhängigkeit von Vektoren - Linearkombination

Eine Linearkombination ist ein Vektor der aus einer Summe mehrerer anderer Vektoren gebildet werden.

Zum Beispiel ist Vektor c gleich Vektor a + b:

lineare-unabhaengigkeit0017.svg

Eine Linearkombination ist auch:

lineare-unabhaengigkeit0018.svg

Allgemein:

lineare-unabhaengigkeit0019.svg

Eine Linearkombination muss nicht zwingend aus zwei Vektoren bestehen, sie kann auch aus mehreren bestehen. Die Vektoren können dabei Element aus dem lineare-unabhaengigkeit0020.svg (zweidimensionalem Raum) oder aus dem lineare-unabhaengigkeit0021.svg (dreidimensionalen Raum) oder aus jedem beliebigen Raum lineare-unabhaengigkeit0022.svg bestehen.

Lineare Unabhängigkeit oder Abhängigkeit

Zwei Vektoren lineare-unabhaengigkeit0023.svg und lineare-unabhaengigkeit0024.svg sind linear unabhängig, wenn lineare-unabhaengigkeit0025.svg nur mit lineare-unabhaengigkeit0026.svg erfüllt ist.

Anschaulich bedeutet das, dass man einen Vektor aus einem anderen bzw. aus mehreren anderen erstellen kann, also aus denen, die man auf lineare Unabhängigkeit untersucht.

Vorstellbar mit zwei Kugelschreibern, die auf dem Tisch liegen und in unterschiedliche Richtungen zeigen. Man braucht einen dritten, um zwei zusammenzulegen, sodass sie an dem Punkt enden, wo der noch nicht verwendete endet. Das wäre dann aber lineare Abhängigkeit.

Zurück zur linearen Unabhängigkeit: Man hat also zwei Vektoren und will die überprüfen. Das Ganze wird an einem Beispiel gezeigt:

lineare-unabhaengigkeit0027.svg

lineare-unabhaengigkeit0028.svg

Die zwei gegebenen Vektoren setzt man nun in die Formel lineare-unabhaengigkeit0025.svg ein.

lineare-unabhaengigkeit0030.svg

Daraus bildet man das Gleichungssystem:

lineare-unabhaengigkeit0031.svg

lineare-unabhaengigkeit0032.svg

Man erkennt sofort, dass bei der Lösung erst für den einen Wert und damit auch für den anderen Wert Null rauskommt. Damit ist klar, dass die Bedingung von oben erfüllt ist. Man nennt diese „Null-Lösung“ triviale Lösung. Die Vektoren sind linear unabhängig.

Lineare Abhängigkeit ist das Gegenteil von der linearen Unabhängigkeit. Hierbei darf also nicht nur die „triviale Lösung“ existieren, sondern auch noch eine andere, also lineare-unabhaengigkeit0033.svg oder lineare-unabhaengigkeit0034.svg

Wobei „oder“ bedeutet, dass ein Wert durchaus 0 annehmen darf, aber dann zwingend der andere ein von Null verschiedenen Wert annehmen muss.

Als Beispiel sollen nun drei Vektoren auf lineare Abhängigkeit überprüft werden. Als Beispielvektoren werden die Vektoren

lineare-unabhaengigkeit0027.svg

lineare-unabhaengigkeit0028.svg

lineare-unabhaengigkeit0035.svg

dienen.

Wem es nicht sofort aufgefallen ist: Der Vektor c ist schon die Linearkombination (also die Summe) von den Vektoren a und b.

Wären die Vektoren linear unabhängig, so könnte man auf keinen Fall einen Vektor als Linearkombination aus zwei anderen bilden. Somit ist im Vorfeld klar, dass bei der Lösung des Gleichungssystems eine Lösung herauskommt, die die oberen Bedingungen (dass Lambda und Mü von Null verschieden sind, zumindest einer von beiden) erfüllt.

Folgendes Gleichungssystem muss man aufstellen:

lineare-unabhaengigkeit0036.svg

lineare-unabhaengigkeit0037.svg

Setzt man für ν oben -µ ein, so erhält man λ - µ = 0. Die Überprüfung eine Gleichung tiefer bestätigt das noch. Also sind die Vektoren linear abhängig.